Denkfehler,2-Sylowgruppen,S_4 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 10.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Bestimme die Gestalt der 2-Sylowgruppen der Gruppe [mm] S_4. [/mm] |
Hallo
Bin gerade durch den Prüfungsstress etwas verwirrt und stecke bei einen einfachen Bsp.
[mm] S_4=4!=2^3*3
[/mm]
Die Anzahl der 2-Sylowgruppen ist 1 oder 3 und eine solche 2-Sylowgruppe hat 8 Elemente.
Nun ist [mm] D_4 [/mm] ein Bsp. für eine 2-Sylowgruppe mit 8 Elementen.
[mm] \alpha [/mm] :=(1234), [mm] \beta:=\pmat{ 1 & 2 &3&4\\ 1&4&3&2 }
[/mm]
[mm] D_4:=\{\epsilon, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha \beta, \alpha^2 \beta, \alpha^3 \beta, \beta\}
[/mm]
Die potenziell anderen 2-Sylowgruppen sind doch zu [mm] D_4 [/mm] konjungiert.
Aber wenn ich z.B bilde (12) [mm] D_2 [/mm] (12), kommt da z.B.: (12)(1234)(12)=(134) heraus und die Gruppe enthält aber kein Element der Ordnung 3 nach Lagrange.
Wo ist mein Denkfehler?
Wie finde ich systematisch das Element mit dem ich konjungieren muss um die anderen beiden 2-Sylowgruppen zu finden?
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Hallo,
$(12)(1234)(12)=(1342)=(2134)$. (Zykel konjugieren mit [mm] $\pi$ [/mm] = Die Elemente im Zykel mit [mm] $\pi$ [/mm] permutieren.)
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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