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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Salino |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Bild der Geraden g unter der affinen Abbildung a.
a) g: x = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + r [mm] \vektor{-2 \\ 3}; [/mm] a: x' = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -5 & 3 } [/mm] * x + [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] |
Hallo,
ich tüftel gerade an dieser Aufgabe. Zunächst habe ich sie gelöst indem ich mir zwei beliebige Punkte auf der geraden g ausgesucht habe. Diese durch die Gleichung gejagt habe und aus den neuen Punkten die Geradegleichung gebastelt habe.
Danach wollte ich ausprobieren ob ich das ganze Vorgehen irgendwie beschelunigen kann. Ich habe direkt den Richtungsvektor von x genommen und damit gerechnet. Das Ergebnis war auch fast Richtig. Lediglich um genau 1 zu viel. Sowohl bei der x als auch bei der y Koordinate. Das habe ich mir so erklärt das ich ja den Richtungsvektor der Abbildung errechne indem ich die beiden Vektoren subtrahiere und tut man dies direkt mit den Gleichungen wäre da ja 1 - 1 = 0.
Wenn ich also direkt mit dem Richtungsvektor rechne und bei a: das + [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] "ignoriere" erhalte ich dann richtige Ergebnisse? Oder war das nur ein Trugschluss meinerseits aufgrund einer unglücklichen Aufgabe.
MfG
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> Bestimmen Sie das Bild der Geraden g unter der affinen
> Abbildung a.
> a) [mm]g: x = \vektor{1 \\ 2}+ r \vektor{-2 \\ 3};[/mm] [mm]a: x' = \pmat{ 2 & 1 \\ -5 & 3 } * x + \vektor{1 \\ 1}[/mm]
> Hallo,
> ich tüftel gerade an dieser Aufgabe. Zunächst habe ich sie
> gelöst indem ich mir zwei beliebige Punkte auf der geraden
> g ausgesucht habe. Diese durch die Gleichung gejagt habe
> und aus den neuen Punkten die Geradegleichung gebastelt
> habe.
> Danach wollte ich ausprobieren ob ich das ganze Vorgehen
> irgendwie beschelunigen kann. Ich habe direkt den
> Richtungsvektor von x genommen und damit gerechnet. Das
> Ergebnis war auch fast Richtig. Lediglich um genau 1 zu
> viel. Sowohl bei der x als auch bei der y Koordinate. Das
> habe ich mir so erklärt das ich ja den Richtungsvektor der
> Abbildung errechne indem ich die beiden Vektoren
> subtrahiere und tut man dies direkt mit den Gleichungen
> wäre da ja 1 - 1 = 0.
> Wenn ich also direkt mit dem Richtungsvektor rechne und
> bei a: das + [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] "ignoriere" erhalte ich dann
> richtige Ergebnisse?
Ja, wenn Du nur den Richtungsvektor des Bildes einer Geraden $g$ bei einer affinen Abbildung berechnen möchtest, darfst Du nur den linearen Teil der affinen Abbildung auf den Richtungsvektor von $g$ anwenden.
An Deiner Stelle würde ich einfach die affine Abbildung auf einen "allgemeinen Punkt"
[mm]\vektor{1-2r\\2+3r}[/mm]
von $g$ anwenden und den daraus resultierenden Bildpunkt
[mm]\vektor{5-r\\2+19r}[/mm]
wieder zerlegen. Ergibt die Bildgerade:
[mm]g':\; x=\vektor{5\\2}+r\vektor{-1\\19}[/mm]
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