Ableitung per Differenzialquot < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | bilden sie die ableitungsfunktion f' der wurzelfunktion [mm] \wurzel{3} [/mm] nur unter benutzung der definition des differenzialquotienten |
differenzialquotient:
Existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x_{n}) -f(x_{0})
}{x_{n} -x_{0}
}
[/mm]
so heißt die Funktion f an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] ableitbar/differenzierbar.
Der Grenzwert des Differenzquotienten heißt Differentialquotient/Ableitung von f an der stelle [mm] x_{0}.
[/mm]
also: [mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{x0}} \bruch{f(x_{n}) -f(x_{0})
}{x_{n} -x_{0}
}
[/mm]
Und ich weiß, dass:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{ 2 \wurzel{x}}
[/mm]
aber wie bekomme ich das ergebnis per definition?
bitte helft mir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
Hier [mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
Also:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h}
[/mm]
Für die umformungen, dessen Zie es ist, h=0 einsetzen zu können (also es aus dem Nenner zu entfernen) lasse ich mal den Limes weg.
[mm] \bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}})(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{x_{0}+h})²-(\wurzel{x_{0}})²}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}
[/mm]
[mm] =\bruch{x_{0}+h-x_{0}}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}
[/mm]
[mm] =\bruch{h}{h(\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}})}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}}}
[/mm]
Jetzt kannst du, ohne dass der Nenner Null wird h=0 setzen, also:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x_{0}+h}-\wurzel{x_{0}}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+h}+\wurzel{x_{0}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{x_{0}+\red{0}}+\wurzel{x_{0}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{x_{0}}+\wurzel{x_{0}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{x_{0}}}
[/mm]
Und jetzt setze mal [mm] x_{0}=3 [/mm] ein, dann hast du die Ableitung an der Stelle [mm] x_{0}=3
[/mm]
Ist das Prinzip jetzt klarer?
Marius
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