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| Aufgabe | Man zeige die folgenden Identitaten von Binomialkoeffizienten:
(a) [mm] \vektor{2n \\ n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}^{2}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=0}^{n}k^{2}\vektor{n \\ k}=(n+n^{2})2^{n-2} [/mm] |
Jetzt habe ich circa 2 Stunden lang versucht das zu lösen, aber mir geht es einfach net.
Ich könnte nichts nutzbar in meinem Skript finden...
Könnte jemand mir bitte helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es gibt hier etliche Möglichkeiten die Identitäten zu beweisen. Ideen für induktionsfreie Beweise:
1) Koeffizientenvergleich bei [mm] $(1+x)^n\cdot (1+x)^n =(1+x)^{2n}$
[/mm]
2) Verwende [mm] $k\binom [/mm] {n}{k}=n [mm] \binom{n-1}{k-1}$. [/mm] Evtl. ist auch [mm] $\sum_{k=0}^n k\binom [/mm] n k [mm] =n2^{n-1}$ [/mm] bereits bekannt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu b) :
Setze [mm] f(x)=(1+x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k
[/mm]
Differentiation liefert:
[mm] f'(x)=n(1+x)^{n-1}=\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}kx^{k-1}
[/mm]
Damit hast Du (x=1)
[mm] n*2^{n-1}=\summe_{k=1}^{n}k\vektor{n \\ k}
[/mm]
Nun bemühe f''(x).
FRED
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