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| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < a < b. wir setzen [mm] a_0 [/mm] := a, [mm] b_0 [/mm] :=b und [mm] a_{n+1}:= \wurzel{ab}, \; b_{n+1}:=(a+b)/2 [/mm] für n [mm] \in \IR \; \cup [/mm] {0}. Zeigen sie
A) Für alle n [mm] \in \IR \; \cup [/mm] {0} gilt [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n.
[/mm]
B) Die Intervalle [mm] I_n :=[a_n, b_n] [/mm] bilden eine Intervallschachtelung.
C) Für alle n [mm] \in \IR \; \cup [/mm] {0} gilt [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1} \le \bruch {1}{8a}(b_n [/mm] - [mm] a_n)^2. [/mm] |
Leider komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter, :( . bei a habe ich mir überlegt [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] zu rechnen. daraus kann man folgern, dass [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] b_{n+1} [/mm] zeigen. Aber weiter komme ich leider nicht. hat jemand ein paar Tipps oder Ansätze?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mo 04.11.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Es seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < a < b. wir setzen [mm]a_0[/mm] := a,
> [mm]b_0[/mm] :=b und [mm]a_{n+1}:= \wurzel{ab}, \; b_{n+1}:=(a+b)/2[/mm] für
> n [mm]\in \IR \; \cup[/mm] {0}. Zeigen sie
>
> A) Für alle n [mm]\in \IR \; \cup[/mm] {0} gilt [mm]a_n[/mm] < [mm]b_n.[/mm]
>
> B) Die Intervalle [mm]I_n :=[a_n, b_n][/mm] bilden eine
> Intervallschachtelung.
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> C) Für alle n [mm]\in \IR \; \cup[/mm] {0} gilt [mm]b_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n+1} \le \bruch {1}{8a}(b_n[/mm]
> - [mm]a_n)^2.[/mm]
Soll die Aufgabe vielleicht so heißen:
Es seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < a < b. Wir setzen [mm]a_0[/mm] := a,
[mm]b_0[/mm] :=b und [mm]a_{n+1}:= \wurzel{a_nb_n}, \; b_{n+1}:=(a_n+b_n)/2[/mm] für n [mm]\in \IN \; \cup[/mm] {0}.
Zeigen sie
A) Für alle n [mm]\in \IN \; \cup[/mm] {0} gilt [mm]a_n[/mm] < [mm]b_n.[/mm]
B) Die Intervalle [mm]I_n :=[a_n, b_n][/mm] bilden eine Intervallschachtelung.
C) Für alle n [mm]\in \IN \; \cup[/mm] {0} gilt [mm]b_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n+1} \le \bruch {1}{8a}(b_n - a_n)^2.[/mm]
> Leider komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt nicht
> weiter, :( . bei a habe ich mir überlegt [mm]b_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm]
> zu rechnen. daraus kann man folgern, dass [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]b_{n+1}[/mm]
> zeigen. Aber weiter komme ich leider nicht. hat jemand ein
> paar Tipps oder Ansätze?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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