Aufgabe #106 (RussMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 18:57 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien $a,b,k,p$ positive ganze Zahlen mit [mm] $a^n+b^n=p^k$, [/mm] wobei [mm] $n\geq [/mm] 3$ ungerade und $p$ eine ungerade Primzahl ist. Man zeige, dass $n$ eine Potenz von $p$ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 02.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo Hanno,
man nehme $a,b,p$ als paarweise teilerfremd an, da gemeinsame Teiler herausgekürzt werden können.
Es sei $n=p^sq$ mit ungeradem $q$, welches nicht durch $p$ teilbar sein soll. Sei weiter [mm] $c=a^{p^s},d=b^{p^s}$. [/mm] Dann ist $c,d [mm] \geq [/mm] 1$ und bekanntermasen
[mm] $p^k=a^n+b^n [/mm] = [mm] c^q+d^q [/mm] = [mm] (c+d)(c^{q-1}-c^{q-2}d+-...+d^{q-1})$
[/mm]
und also $c+d>1$ eine nichttriviale $p$-Potenz, also $c [mm] \equiv [/mm] -d [mm] \mod [/mm] p$.
Dann ist aber [mm] $c^{q-1}-c^{q-2}d+-...+d^{q-1} \equiv c^{q-1}+c^{q-2}c+...+c^{q-1} [/mm] = [mm] qc^{q-1} \not\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] p$
und somit insbesondere die triviale Potenz von $p$.
Also ist [mm] $c+d=c^q+d^q$, [/mm] was nur für $c=d=1$, also $p=2$, oder $q=1$ möglich ist. Das liefert aber unmittelbar die gewünschte Aussage.
grüße,
Daniel
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Eine sehr schöne Lösung!! ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]"){kind=small}
