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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Do 08.07.2010 | | Autor: | valoo |
Heyho!
Ich habe da so eine Matrix:
[mm] \pmat{ D_{1,1} & ... & D_{1,n} \\ ... & ... & ... \\ D_{n,1} & ... & D_{n,n} }
[/mm]
wobei [mm] D_{i,j} [/mm] eine mxm-Diagonalmatrix ist mit dem Eintrag [mm] d_{i,j}. [/mm] Ich soll nun die Determinante ausrechnen. Die soll sein: [mm] (det(D))^{m} [/mm] wobei
[mm] D:=\pmat{ d_{1,1} & ... & d_{1,n} \\ ... & ... & ... \\ d_{n,1} & ... & d_{n,n}}
[/mm]
ist.
Deshalb versuche ich zu zeigen, dass das Ding ähnlich ist zu der Blockmatrix [mm] \pmat{ D & 0 & ...\\ 0 & ... & 0 \\ ... & 0 & D }
[/mm]
Die Frage ist nur, wie sieht die Basiswechselmatrix dazu aus? Ist dem überhaupt so? Ich halt es für logisch und so könnte mans zumindest zeigen...
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In der Praxis funktioniert das durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Ich habe einmal ein Beispiel gerechnet:
[mm]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \end{vmatrix}[/mm]
[mm]= - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}^3 = (-2)^3 = -8[/mm]
1a) Zunächst wurde die vierte Spalte mit der dritten, dann die dritte Spalte mit der zweiten vertauscht: 1+1=2 Vertauschungen.
1b) Ebenso wurde die vierte Zeile mit der dritten, dann die dritte Zeile mit der zweiten vertauscht: 1+1=2 Vertauschungen.
2a) Dann wurde die fünfte Spalte mit der vierten vertauscht: 1 Vertauschung.
2b) Ebenso wurde die fünfte Zeile mit der vierten vertauscht: 1 Vertauschung.
Insgesamt waren es 2+2+1+1 = 6 Vertauschungen.
Du kannst ja einmal probieren, ob sich das Verfahren verallgemeinern läßt und am Schluß zu einer geraden Anzahl von Vertauschungen führt.
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