Dreiecksungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mo 10.07.2006 | | Autor: | g_hub |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Durch [mm] d:\IN\times\IN [/mm] mit [mm] d(m,n)=\bruch{|m-n|}{mn} [/mm] ist eine Metrik auf [mm] \IN [/mm] gegeben |
Das war eine Klausuraufgabe, und irgendwie hab ich die Dreiecksungleichung nich hinbekommen... kann mir mal jmd dafür die Lösung bzw. den entscheidenden Hinweis posten, ich wüßte gern wie's geht...
danke schonmal
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Hallo g_hub,
> Zeigen Sie: Durch [mm]d:\IN\times\IN[/mm] mit
> [mm]d(m,n)=\bruch{|m-n|}{mn}[/mm] ist eine Metrik auf [mm]\IN[/mm] gegeben
Stand da nicht eher: [mm]d:\IN\times\IN \color{magenta}\to \IQ \color{black}\quad\ldots[/mm] oder so ähnlich?
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 10.07.2006 | | Autor: | g_hub |
Gemeint ist
[mm] d:\IN\times\IN\to\IR
[/mm]
sorry, tippfehler
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Hallo g_hub,
Das schreit nach ner Fallunterscheidung:
[mm]\begin{matrix}d(x,y)+d(y,z)
&=& \frac{\left|x-y\right|}{xy}+\frac{\left|y-z\right|}{yz}\\
&=& \frac{z\left|x-y\right|}{xyz}+\frac {x\left|y-z\right|}{xyz}\\
&=& \begin{cases}
\frac{xz-yz+xy-xz}{xyz}=\frac{x-z}{xz}, & \mbox{für } x\ge y \ge z\\
\frac{xz-yz-xy+xz}{xyz}, & \mbox{für } x\ge y \wedge z>y\\
\frac{-xz+yz+xy-xz}{xyz}, & \mbox{für } x< y \wedge z\le y\\
\frac{-xz+yz-xy+xz}{xyz}=\frac{z-x}{xz}, & \mbox{für } x< y< z
\end{cases}\\
&=& \begin{cases}
\frac{\left|x-z\right|}{xz}=d(x,z), \quad \mbox{für } x\ge y\ge z\\
\frac{2xz-yz-xy}{xyz}\ge \begin{cases}\frac{2yz-yz-xy}{xyz}=\frac{yz-xy}{xyz}=\frac{z-x}{xz}=d(x,z), & \mbox{für }z\ge x \ge y\\
\frac{2xy-yz-xy}{xyz}=\frac{xy-yz}{xyz}=\frac{x-z}{xz}=d(x,z),& \mbox{für }x>z > y \end{cases}\\
\frac{xy+yz-2xz}{xyz} \ge \begin{cases}\frac{xy+yz-2xy}{xyz}=\frac{yz-xy}{xyz}=\frac{z-x}{xz}=d(x,z), & \mbox{für }x\le z \le y\\
\frac{xy+yz-2yz}{xyz}=\frac{xy-yz}{xyz}=\frac{x-z}{xz}=d(x,z),& \mbox{für }z< x < y \end{cases} \\
\frac{\left|x-z\right|}{xz}=d(x,z), \quad \mbox{für } x< y< z
\end{cases}
\end{matrix}
[/mm]
Wenn ich jetzt noch kontrolieren müsste, ob da jetzt genau ein [mm] \le [/mm] oder ein < hingehört, dreh ich durch.
Ich hoffe, die stimmen alle. (Für Gleichheit sollte es sowieso trivial sein.)
Gruß Karthagoras
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