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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | | Keine Aufgabe, nur eine kleine Frage. |
Hallo,
Die Parameterform für eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] sieht ja wie folgt aus (Beispiel):
E1: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}+r*\vektor{-5 \\ 2 \\ 8}+s*\vektor{3 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Wenn ich jetzt eine Ebene im [mm] \IR^4 [/mm] beispielsweise habe, ändert sich an der o.g. Gleichung nur die Anzahl der Komponenten der Vektoren (also 4 statt 3)? Sprich ich habe auch hier nur 1 Ortsvektor und 2 Richtungsvektoren, nur eben mit 4 Komponenten in den Vektoren?
Also Beispiel:
E2: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 5}+r*\vektor{-5 \\ 2 \\ 8 \\ 6}+s*\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
Oder kämen da noch zusätzliche Richtungsvektoren hinzu oder so?
Und wenn ich von E2 nun den Normalenvektor berechnen will, hätte ich doch 2 Freiheitsgrade oder? Da ich ja 4 Unbekannte und 2 Gleichungen habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Stoecki |
bei einer 2-dimensionalen ebene stimmt das soweit mit der parameterdarstellung. aber eine ebene muss nicht 2 dimensional sein. sie könnte auch 3-dimensional sein.
was den normalenvektor angeht, definiert der dir immer eine schar von ebenen, die jeweils von der dimension her um eins kleiner sind, als der grundraum. die ebene die du hingeschrieben hast, ist mit einem normalenvektor also nicht darstellbar. bei einem normalenvektor erhälst du die ebene als lösung eines gleichungssystems der form [mm] a^{T}x [/mm] = b, wobei a jener normalenvektor ist und b ein skalar. da du bei einem vektor a [mm] \in \IR^4 [/mm] eben 3 freiheitsgrade hast, ist der lösungsraum eben auch 3-dimensional
gruß bernhard
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