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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IR^4 [/mm] über [mm] \IR [/mm] sind die Vektoren [mm] u_1 [/mm] = (1, -2, 1, 0), [mm] u_2 [/mm] = (0, 1, 0, -1), [mm] u_3 [/mm] = (0, 1, -2, 0), [mm] u_4 [/mm] = (0, 3, 1, 0) gegeben.
Zeigen Sie das die Menge E = {u1, u2, u3, u4} ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^4 [/mm] ist. |
Hallo,
Entscheidend in Bezug auf ein Erzeugendensystem ist, ob ich jeden anderen Vektor als Linearkombination der, in dem Fall, vier Vektoren darstellen kann.
Lösung:
k * (1, -2, 1, 0) + l * (0, 1, 0, -1) + m * (0, 1, -2, 0) + n * (0, 3, 1, 0) = (a,b,c,d)
1.) 1. Stelle:
1k + 0l + 0m + 0n = a
[mm] \Rightarrow [/mm] k = a oder a = k
2.) 4. Stelle:
0k - 1l + 0m + 0n = d
[mm] \Rightarrow [/mm] -l = d oder d = -l
3.) 2. Stelle:
-2k + 1l + 1m + 3n = b
unter Benutzung von 1.) & 2.)
[mm] \Rightarrow [/mm] -2a - d + 1m + 3n = b
m = 2a + d - 3n - b
4.) 3. Stelle:
1k + 0l - 2m + 1n = c
unter Benutzung von 1.)
[mm] \Rightarrow [/mm] a - 2m + 1n = c
unter Benutzung von 3.)
[mm] \Rightarrow [/mm] a - 2 * (2a + d - 3n - b) = c
a - 4a - 2d + 6n + 2b = c
-3a - 2d + 6n + 2b = c | - 6n, -c
[mm] \Rightarrow [/mm] -3a - 2d + 2b - c = -6n | : -6
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}d [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}b [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}c [/mm] = n
5.) m = 2a + d - 3n - b
unter Benutzung von 4.)
[mm] \Rightarrow [/mm] m = 2a + d - 3 * [mm] (\bruch{1}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}d [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}b [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}c)
[/mm]
m = 2a + d - [mm] \bruch{3}{2}a [/mm] - d + b - [mm] \bruch{1}{2}c [/mm] - b
m = [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}c
[/mm]
Zusammenfassung:
k = a
l = -d
m = [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}c
[/mm]
n = [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}d [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}b [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}c
[/mm]
Es gibt für jedes k, l, m, n eine Lösung, deswegen ist die Menge E ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^4.
[/mm]
Ist meine Lösung richtig, bzw. ist der Beweis aussagekräftig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Alles O.K.
FRED
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