Euklidischer Ring, Gauß < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 02.05.2010 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] $\mathbb{Z}[i] [/mm] := [mm] \{a + bi \in \mathbb{C} | a, b \in \mathbb{Z}\}$ [/mm] ein euklidischer Ring ist. (Tipp: Definieren Sie [mm] $\delta(a [/mm] + bi) := a2 + b2.$) |
Hallo!
Ich glaub, ich hab ein Brett vorm Kopf! Ich komme irgendwie nicht voran.
Unsere Definition zu euklidischer Ring:
Ein Integritätsring $R$ heißt ein [mm] \textit{euklidischer Ring}\, [/mm] wenn es eine Abbildung $ [mm] \delta [/mm] : R [mm] \setminus \{ 0 \} \rightarrow \IN$ [/mm] mit folgenden Eigenschaften gibt
Zu $a,b [mm] \in [/mm] R$, $b [mm] \neq [/mm] 0$ gibt $q,r [mm] \in [/mm] R$ mit $a = qb + r$ und ($r = 0$ oder $ [mm] \delta(r) [/mm] < [mm] \delta(b)$). [/mm]
$ [mm] \delta$ [/mm] heißt dann eine [mm] \textit{Euklidfunktion}\index{Euklidfunktion}.
[/mm]
Meine Idee:
Seien $a := [mm] a_1 [/mm] + i [mm] a_2 \in \IZ[i]$ [/mm] und $0 [mm] \neq [/mm] b := [mm] b_1 [/mm] + i [mm] b_2 \in \IZ[i]$, $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \IN$. [/mm] Für alle $a,b$ existieren dann $q := [mm] q_1 [/mm] + i [mm] q_2 \in \IZ[i]$ [/mm] und $r := [mm] r_1 [/mm] + i [mm] r_2 \in \IZ[i]$ [/mm] mit $ a = bq + r$.
Okay, dass ist noch nicht wirklich viel, eigentlich nur die Definition aufgeschrieben! :(
Da wir ja $ [mm] \delta [/mm] (a + ib) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm] definiert haben, auch noch gelten:
$ [mm] \delta(r_1 [/mm] + i [mm] r_2) [/mm] = [mm] r_1^2 [/mm] + [mm] r_2^2 [/mm] < [mm] b_1^2 [/mm] + [mm] b_2^2 [/mm] = [mm] \delta(b_1 [/mm] + i [mm] b_2)$.
[/mm]
Wie kann ich ja jetzt weiter machen?
Ich kann ja mit der Gleichung $ a = bq + r$ weiter rechnen. Wenn ich diese dann durch b teile, erhalten ist
$ [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = q + [mm] \bruch{r}{b}$ [/mm] und $ [mm] \delta [/mm] ( [mm] \bruch{r}{b}) [/mm] <1$.
Irgendwie ist das damit ja nicht gezeigt... was muss ich denn noch zeigen?? Kann mir dabei jemand helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 03.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Beweisen Sie, dass [mm]\mathbb{Z}[i] := \{a + bi \in \mathbb{C} | a, b \in \mathbb{Z}\}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]ein euklidischer Ring ist. (Tipp: Definieren Sie [mm]\delta(a + bi) := a2 + b2.[/mm])[/i][/mm]
>
> [mm][i]Ich glaub, ich hab ein Brett vorm Kopf! Ich komme irgendwie [/i][/mm]
> [mm][i]nicht voran. [/i][/mm]
> [mm][i]Unsere Definition zu euklidischer Ring:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Ein Integritätsring [mm]R[/mm] heißt ein [mm]\textit{euklidischer Ring}\,[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]wenn es eine Abbildung [mm]\delta : R \setminus \{ 0 \} \rightarrow \IN[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]mit folgenden Eigenschaften gibt[/i][/mm]
> [mm][i] Zu [mm]a,b \in R[/mm], [mm]b \neq 0[/mm] gibt [mm]q,r \in R[/mm] mit [mm]a = qb + r[/mm] und [/i][/mm]
> [mm][i]([mm]r = 0[/mm] oder [mm]\delta(r) < \delta(b)[/mm]). [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\delta[/mm] heißt dann eine [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\textit{Euklidfunktion}\index{Euklidfunktion}.[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Meine Idee:[/i][/mm]
> [mm][i] Seien [mm]a := a_1 + i a_2 \in \IZ[i][/mm] und [mm]0 \neq b := b_1 + i b_2 \in \IZ[i][/mm], [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]a_1,a_2,b_1,b_2 \in \IN[/mm]. Für alle [mm]a,b[/mm] existieren dann [mm]q := q_1 + i q_2 \in \IZ[i][/mm] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]und [mm]r := r_1 + i r_2 \in \IZ[i][/mm] mit [mm]a = bq + r[/mm].[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Okay, dass ist noch nicht wirklich viel, eigentlich nur die [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Definition aufgeschrieben! :( [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
Exakt.
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Da wir ja [mm]\delta (a + ib) = a^2 + b^2[/mm] definiert haben, auch [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]noch gelten:[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] [mm]\delta(r_1 + i r_2) = r_1^2 + r_2^2 < b_1^2 + b_2^2 = \delta(b_1 + i b_2)[/mm].[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Wie kann ich ja jetzt weiter machen?[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Ich kann ja mit der Gleichung [mm]a = bq + r[/mm] weiter rechnen. [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Wenn ich diese dann durch b teile, erhalten ist[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] [mm]\bruch{a}{b} = q + \bruch{r}{b}[/mm] und [mm]\delta ( \bruch{r}{b}) <1[/mm].[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]Irgendwie ist das damit ja nicht gezeigt... was muss ich [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm][i][mm][i]denn noch zeigen?? Kann mir dabei jemand helfen?? [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
Das ist schonmal ein guter Anfang. Es ist ja [mm] $\frac{a}{b} [/mm] = x + y i$ mit $x, y [mm] \in \IQ$ [/mm] (warum?). Jetzt runde doch mal $x$ und $y$ auf eine ganze Zahl, sprich nimm dir $x', y' [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $|x - x'| [mm] \le \frac{1}{2}$ [/mm] und $|y - y'| [mm] \le \frac{1}{2}$. [/mm] Setze $q := x' + i y'$ und $r := a - q b$. Kannst du jetzt etwas ueber [mm] $\delta(r)$ [/mm] aussagen?
LG Felix
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