Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Maximum von f(x,y)=xy unter der Nebenbedingung g(x,y)=x+y=1.
Wie sieht das 1-Niveau von g aus? |
Hallo,
mein Vorgehen:
f(x,y)=xy
g(x,y)=x+y=1 --> x+y-1=0
Lagrange Funktion: [mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y)
[/mm]
[mm] L(x,y,\lambda)=xy+\lambda*(x+y-1)
[/mm]
Partielle Ableitungen von L und gleich Null setzen:
(I) [mm] L_{x}=y+\lambda=0 [/mm] --> [mm] \lambda=-y
[/mm]
--> y=x
(II) [mm] L_{y}=x+\lambda=0 [/mm] --> [mm] \lambda=-x
[/mm]
(III) [mm] L_{\lambda}=x+y-1=0
[/mm]
EInsetzen von y=x in (III): x+x-1=0 --> [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] --> [mm] y=\bruch{1}{2}
[/mm]
1) Wie gehe ich weiter vor?
2) Was ist ein 1-Niveau von g? Was ist gemeint?
Vielen Dank für die Korrektur.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Maximum von f(x,y)=xy unter der
> Nebenbedingung g(x,y)=x+y=1.
>
> Wie sieht das 1-Niveau von g aus?
> Hallo,
>
> mein Vorgehen:
>
> f(x,y)=xy
>
> g(x,y)=x+y=1 --> x+y-1=0
>
> Lagrange Funktion: [mm]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y)[/mm]
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=xy+\lambda*(x+y-1)[/mm]
>
> Partielle Ableitungen von L und gleich Null setzen:
>
> (I) [mm]L_{x}=y+\lambda=0[/mm] --> [mm]\lambda=-y[/mm]
> --> y=x
> (II) [mm]L_{y}=x+\lambda=0[/mm] --> [mm]\lambda=-x[/mm]
>
> (III) [mm]L_{\lambda}=x+y-1=0[/mm]
>
> EInsetzen von y=x in (III): x+x-1=0 --> [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm]
> --> [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> 1) Wie gehe ich weiter vor?
Nun zeige, dass f(x,y)=xy unter der Nebenbedingung g(x,y)=x+y=1 tatsächlich in (1/2,1/2) ein Max. hat
>
> 2) Was ist ein 1-Niveau von g? Was ist gemeint?
Was für eine Menge ist { (x,y) [mm] \in \IR^2: [/mm] x+y=1 } ?
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Zu 1. :
Ich wäre so vorgegangen: löse x+y=1 nach y auf und setze die s in f ein:
dann bekommst Du die Funktion
h(x)=f(x, 1-x)= x(1-x)
Dammit hast Du ein Extremwertproblem ohne Nebenbed. für eine Funktion von nur einer Var.
FRED
>
>
> Vielen Dank für die Korrektur.
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