Extrempunkte < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
Wie muss b von a und c abhängen, damit ein Extrempunkt auch gleichzeitig eine Nullstelle ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe zwar schon einen Lösungsvorschlag von jemanden bekommen, doch irgendwie schaffe ich es nicht auf die Lösung zu kommen!
Nachdem ich die erste Ableitung auf null gesetzt habe und diese auf x=... umgeformt habe, wie gehts dann weiter?
Vielleicht kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
Hi, frettchen,
> Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
>
> Wie muss b von a und c abhängen, damit ein Extrempunkt auch
> gleichzeitig eine Nullstelle ist?
> Nachdem ich die erste Ableitung auf null gesetzt habe und
> diese auf x=... umgeformt habe, wie gehts dann weiter?
Ich denke, man kommt schnell drauf, dass a nicht null sein darf.
Deine Lösung dürfte ja ungefähr so aussehen:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel[4]{\bruch{c}{a}} [/mm] (nur lösbar für positiven Radikanden!)
Dies musst Du nun in Deine Funktion einsetzen; das Ergebnis soll =0 sein.
Damit kriegst Du: [mm] a*\wurzel{\bruch{c}{a}} [/mm] + b + [mm] c*\wurzel{\bruch{a}{c}} [/mm] = 0
Zur weiteren Umformung nehm' ich mal den Fall, dass a>0 und c>0 ist (den anderen musst Du Dir selbst überlegen!).
Da ziehst Du das a in die erste Wurzel mit hinein (als [mm] a^{2}) [/mm] und ebenso das c in die zweite (als [mm] c^{2}). [/mm] Nach Kürzen und Zusammenfassung steht dann da:
[mm] 2*\wurzel{ac} [/mm] + b = 0 <=> b = [mm] -2*\wurzel{ac}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
