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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Paivren |
N'abend zusammen.
Bräuchte mal bei einer Integration Hilfe, hfftl. hat jemand Zeit, sich das mal anzuschauen^^
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^{4}-81} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] =\bruch{A}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{x^{2}+9}
[/mm]
Den Ansatz für komplexe Nullstellen des Nenners, also [mm] \bruch{Cx+D}{x^{2}+9}, [/mm] habe ich aus dem Netz.
Nun bringe ich alle auf den Hauptnenner und führe den Koeffzientenvergleich durch.
[mm] \Rightarrow [/mm] 4 Gleichungen:
A+B+C=0 (1)
-3A+3B+D=0 (2)
9A+9B-9C=0 (3)
-27A+27B-9D=1 (4)
In Matrixform gelöst:
[mm] A=-\bruch{1}{108}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{108}
[/mm]
C=0
[mm] D=-\bruch{1}{18}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Integral mithilfe der Partialbrüche aufteilen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx}
[/mm]
[mm] =-\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x+324} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x-324} dx} -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{18x^{2}+162} dx}
[/mm]
Die ersten beiden Integrale sind ja relativ leicht mit dem nat. Logarithmus zu berechnen. Aber was mach ich mit dem letzten Term? Substituieren?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal gerade ein Kommentar: Stammfunktionen sind i.a. NICHT eindeutig
(nur eindeutig bis auf eine additive Konstante(=konstante Funktion)), daher
solltest Du schreiben: "Finde EINE Stammfunktion..."
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Das stimmt wohl. War nur zu sehr darauf fixiert, den Teil zu finden, der bei allen Stammfunktionen gleich ist^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> N'abend zusammen.
>
> Bräuchte mal bei einer Integration Hilfe, hfftl. hat
> jemand Zeit, sich das mal anzuschauen^^
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^{4}-81} dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx}[/mm]
>
> Partialbruchzerlegung:
> [mm]=\bruch{A}{x+3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}[/mm]
> Den Ansatz für komplexe Nullstellen des Nenners, also
> [mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+9},[/mm] habe ich aus dem Netz.
>
> Nun bringe ich alle auf den Hauptnenner und führe den
> Koeffzientenvergleich durch.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 4 Gleichungen:
> A+B+C=0 (1)
> -3A+3B+D=0 (2)
> 9A+9B-9C=0 (3)
> -27A+27B-9D=1 (4)
>
> In Matrixform gelöst:
> [mm]A=-\bruch{1}{108}[/mm]
> [mm]B=\bruch{1}{108}[/mm]
> C=0
> [mm]D=-\bruch{1}{18}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Integral mithilfe der Partialbrüche
> aufteilen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+3)(x-3)(x^{2}+9)} dx}[/mm]
>
> [mm]=-\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x+324} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{108x-324} dx} -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{18x^{2}+162} dx}[/mm]
>
> Die ersten beiden Integrale sind ja relativ leicht mit dem
> nat. Logarithmus zu berechnen. Aber was mach ich mit dem
> letzten Term? Substituieren?
Ja. Mit [mm] $t=\frac [/mm] 1 3 [mm] x\,.$
[/mm]
EDIT: Verbessert.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Helbig,
kurz aber deftig, es funktioniert!
Vielen Dank!!
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