Grenzwert n/n.Wurzel aus n! < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 So 02.01.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Man bestimme den Grenzwert von [mm] (x_n)=\left(\frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}}\right). [/mm] |
Hallo,
Ich kann [mm] \left(\frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}}\right) [/mm] nach oben beschränken mit 4, da gilt
[mm] \frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}}=\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}<\left(\frac{2n(2n-1)\cdot\ldots\cdot(n+1)}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}= \vektor{2n \\ n}^{\frac{1}{n}}<(4^n)^{\frac{1}{n}}=4
[/mm]
Der Grenzwert liegt aber vermutlich deutlich drunter. Könnte es e sein? Mein Gefühl sagt mir, dass der Grenzwert da irgendwo in der Nähe liegt.
Weiß jemand weiter? Wäre für Hilfe sehr dankbar.
mfg pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 03.01.2011 | | Autor: | pyw |
Moin,
hab die Aufgabe unter Verwendung von
(*) [mm] \frac{x_n}{x_{n-1}}\to [/mm] x konvergent [mm] \Rightarrow \wurzel[n]{x_n}\to [/mm] x ist auch konvergent
selbst gelöst.
Sei [mm] x_n=\frac{n^n}{n!}. [/mm] Es gilt:
[mm] \frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{n^n}{n!}\frac{(n-1)!}{(n-1)^{n-1}}=\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1} \to e[/mm]
Also gilt wegen (*) [mm] \wurzel[n]{\frac{n^n}{n!}}\to [/mm] e.
War ja bereits meine Vermutung :)
Nun meine Frage: Wie kann ich als Autor den Status der eigenen Frage auf beantwortet setzen? (Unter den Reaktionsmöglichkeiten habe ich keine Antwortmöglichkeit gesehen)
Grüße, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo pyw!
> Nun meine Frage: Wie kann ich als Autor den Status der
> eigenen Frage auf beantwortet setzen?
> (Unter den Reaktionsmöglichkeiten habe ich keine Antwortmöglichkeit
> gesehen)
Das kannst Du nicht. Das können nur Moderatoren dieses Forums, so dass ich das nun auch mal für Dich übernommen habe.
Gruß
Loddar
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