Integritätsb./ Hauptidealring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 18.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Sei D ein Integritätabereich und kein Körper, dann ist D[x] kein Hauptidealring.
(Idee: Man bertachtet das Ideal jener Polynome ,deren konstanter Term in I liegt, I ist ein nichttriviales Ideal von D.)
Wie beweise ich diese Aussage?
ich bin dankbar für alle vorschläge!
mfg Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:58 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Floyd!
Also: Da $D$ ein Integritätsbereich und kein Körper ist, gibt es auch nicht-triviale Ideale. Es solches sei mit $I$ gegeben.
Dann definieren wir:
[mm] $J:=\{p(x) \in D[x] \, : \, p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0, \, a_0 \in I\}$.
[/mm]
Zeige zunächst, dass $J$ ein Ideal in $D[x]$ ist.
Behauptung: $J$ ist kein Hauptideal (und damit $D[x]$ kein Hauptidealring.)
Wir nehmen an $J$ wäre ein Hauptideal.
Da für [mm] $a_0 \in [/mm] I$ auch [mm] $p(x)=a_0$ [/mm] in $J$ liegt, müsste auf Grund des Gradsatzes $J$ von einem solchen Polynom erzeugt werden.
Es wäre also: [mm] $J=(a_0)$ [/mm] für ein [mm] $a_0 \in [/mm] I$.
Jetzt versuche mal ein $q(x) [mm] \in [/mm] D[x]$ zu finden mit
[mm] $a_0 \cdot [/mm] q(x) = 1 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] a_0 \in [/mm] J$.
Es wird dir nicht gelingen... 
Liebe Grüße
Stefan
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