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| Aufgabe | Sei ein konstantes Geschwindigkeitsfeld [mm] u=(u_{1},u_{2},u_{3}) [/mm] gegeben. Gesucht wird eine Dichteverteilung p: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR^{3} \to \IR, [/mm] die die Kontinuitätsgleichung [mm] \bruch{\partial p}{\partial t}+\nabla p\cdot{}\vec{u}=0 [/mm] erfüllt.
a) Zeige, dass für jeden Punkt [mm] (t,\vec{x})\in \IR [/mm] x [mm] \IR^{3} [/mm] die gesuchte Dichteverteilung p konstant entlang der Gerade [mm] (t+s,\vec{x}+s\vec{u}), [/mm] s [mm] \in \IR [/mm] ist.
Hinweis: Betrachte die Funktion [mm] z(s)=p(t+s,\vec{x}+s\vec{u}) [/mm] und zeige, dass z'(s)=0 gilt.
b) Es sei g [mm] \in C^{1}(\IR^{3}) [/mm] gegeben und es gilt [mm] p(0,\vec{x}) [/mm] = [mm] g(\vec{x}). [/mm] Bestimme jetzt die Funktion p.
Hinweis: Benutzte, dass laut (a) [mm] p(t,\vec{x})=p(0,\vec{x}-t\vec{u}) [/mm] gilt. (Hier wurde links in [mm] p(t+s,\vec{x}+s\vec{u}) [/mm] s=0 und rechts s=-t eingesetzt) |
Hallo zusammen,
also ich hab eine frage zu a):
[mm] z(s)=p(t+s,\vec{x}+s\vec{u})=f(a,b) [/mm] mit a=t+s und [mm] b=\vec{x}+s\vec{u}
[/mm]
[mm] z'(s)=f_{a}* \bruch{d}{ds}(a) [/mm] + [mm] f_{b}* \bruch{d}{ds}(b)
[/mm]
= [mm] f_{a} [/mm] + [mm] f_{b}*\vec{u}
[/mm]
Meine Idee ist, dass ich das jetzt so umforme, dass es die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Sprich:
[mm] f_{a} [/mm] =? [mm] \bruch{\partial p}{\partial t}
[/mm]
[mm] f_{b} [/mm] =? [mm] \nabla p\cdot{}
[/mm]
Nur weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll.
[mm] f_{a}=p_{t+s}= \bruch{\partial p}{\partial (t+s)}
[/mm]
[mm] f_{b}=\vektor{ \bruch{\partial p}{\partial (x_{1}+su_{1})}\\\bruch{\partial p}{\partial (x_{2}+su_{2})}\\\bruch{\partial p}{\partial (x_{3}+su_{3})}}
[/mm]
so würde es bei mir aussehen und ich denke nicht, dass es richtig ist.
Ich hoffe, es kann mir einer nen Tipp oder so geben.
Gruß
Mathe_001
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Di 24.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei ein konstantes Geschwindigkeitsfeld
> [mm]u=(u_{1},u_{2},u_{3})[/mm] gegeben. Gesucht wird eine
> Dichteverteilung p: [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR^{3} \to \IR,[/mm] die die
> Kontinuitätsgleichung [mm]\bruch{\partial p}{\partial t}+\nabla p\cdot{}\vec{u}=0[/mm]
> erfüllt.
>
> a) Zeige, dass für jeden Punkt [mm](t,\vec{x})\in \IR[/mm] x
> [mm]\IR^{3}[/mm] die gesuchte Dichteverteilung p konstant entlang
> der Gerade [mm](t+s,\vec{x}+s\vec{u}),[/mm] s [mm]\in \IR[/mm] ist.
> Hinweis: Betrachte die Funktion
> [mm]z(s)=p(t+s,\vec{x}+s\vec{u})[/mm] und zeige, dass z'(s)=0 gilt.
> b) Es sei g [mm]\in C^{1}(\IR^{3})[/mm] gegeben und es gilt
> [mm]p(0,\vec{x})[/mm] = [mm]g(\vec{x}).[/mm] Bestimme jetzt die Funktion p.
> Hinweis: Benutzte, dass laut (a)
> [mm]p(t,\vec{x})=p(0,\vec{x}-t\vec{u})[/mm] gilt. (Hier wurde links
> in [mm]p(t+s,\vec{x}+s\vec{u})[/mm] s=0 und rechts s=-t eingesetzt)
> Hallo zusammen,
>
> also ich hab eine frage zu a):
>
> [mm]z(s)=p(t+s,\vec{x}+s\vec{u})=f(a,b)[/mm] mit a=t+s und [mm]b=\vec{x}+s\vec{u}[/mm]
Wozu f einführen? Das ist doch identisch mit p.
[mm] z(s)=p(t+s,\vec{x}+s\vec{u}) = p(a,\vec b)[/mm] mit $a=t+s$ und [mm]\vec b=\vec{x}+s\vec{u}[/mm].
>
> [mm]z'(s)=f_{a}* \bruch{d}{ds}(a)[/mm] + [mm]f_{b}* \bruch{d}{ds}(b)[/mm]
>
>
> = [mm]f_{a}[/mm] + [mm]f_{b}*\vec{u}[/mm]
[mm] = p_a + \nabla_{\vec b}\,p * \vec{u} [/mm]
[mm] = \bruch{\partial p}{\partial t}(a,\vec{b}) + \nabla p (a,\vec{b}) * \vec{u} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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