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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR+ \to \IR+ [/mm] mit
f(x)= [mm] x^2*e^-^x
[/mm]
Bestimmen sie alle Intervalle in [mm] \IR+ [/mm] ,in denen f konvex oder konkav ist. |
Bedingungen:
f''(x) [mm] \ge0 [/mm] konvex
f''(x) [mm] \le0 [/mm] konkav
f''(x)=e^-^x * [mm] )x^2-4x+2)
[/mm]
p=-4,q=2
X=-p/2 [mm] \pm\wurzel{(p/2)^2-q}
[/mm]
[mm] x=2\pm\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x1=2+\wurzel{2}
[/mm]
x2=2- [mm] \wurzel{2}
[/mm]
NR: Binom
[mm] (x^2-4x+2)
[/mm]
[mm] (x^2-4x+2^2-2^2+2)
[/mm]
[mm] (x-2)^2-4+2
[/mm]
[mm] (x-2)^2-2
[/mm]
[mm] (x-2)^2-(\wurzel{2})^2
[/mm]
[mm] (x-2)+(\wurzel{2})-(\wurzel{2})
[/mm]
[mm] (x-2+\wurzel{2})*(x-2-\wurzel{2})
[/mm]
f''(x)=e^-^x * [mm] (x-2+\wurzel{2})*(x-2-\wurzel{2})
[/mm]
Zu untersuchende Bereiche bei [mm] \IR+
[/mm]
1) x [mm] \ge2+\wurzel{2}
[/mm]
2) 0 [mm] \lex \le2+\wurzel{2}
[/mm]
1)e^-^x * [mm] (x-2+\wurzel{2})*(x-2-\wurzel{2})
[/mm]
(+) * (-) * (-) =(+)
2)e^-^x * [mm] (x-2+\wurzel{2})*(x-2-\wurzel{2})
[/mm]
(+) * (-) * (-) = (+)
f ist für x [mm] \ge2+\wurzel{2} [/mm] und für 0 [mm] \lex \le2+\wurzel{2} [/mm] konvex
Wäre nett wenn sich jemand mal kurz die Aufgabe durchschauen könnte und sie gegebenenfalls korrigiert,danke.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Was ist mit den Bereichen $0 \ < \ x \ < \ [mm] 2-\wurzel{2}$ [/mm] bzw. [mm] $2-\wurzel{2} [/mm] \ < \ x \ < \ [mm] 2+\wurzel{2}$ [/mm] ??
