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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Umfang und die Fläche der Figur zwischen der Gerade y=x und der Parabel [mm] y=x^{2}. [/mm] |
Hallo,
hier mein Vorgehen:
Wenn man das skizziert, dann sieht man das Intervall der geschlossenen Fläche: [mm] X:[0,1]\to\IR
[/mm]
Formel für die Kurvenlänge: [mm] L(X)=\integral_{a}^{b}||X'(t)||dt
[/mm]
X(t)=(t, [mm] t^{2}) [/mm] <-- sind die funktionen
X'(t)=(1, 2t)
[mm] L(X)=\integral_{0}^{1}\wurzel{1+4t^{2}}dt
[/mm]
Wie integriere ich das am besten?
Danke vorab.
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> Berechnen Sie den Umfang und die Fläche der Figur zwischen
> der Gerade y=x und der Parabel [mm]y=x^{2}.[/mm]
> Hallo,
> hier mein Vorgehen:
>
> Wenn man das skizziert, dann sieht man das Intervall der
> geschlossenen Fläche: [mm]X:[0,1]\to\IR[/mm]
>
> Formel für die Kurvenlänge:
> [mm]L(X)=\integral_{a}^{b}||X'(t)||dt[/mm]
>
> X(t)=(t, [mm]t^{2})[/mm] <-- sind die funktionen
> X'(t)=(1, 2t)
>
> [mm]L(X)=\integral_{0}^{1}\wurzel{1+4t^{2}}dt[/mm]
>
> Wie integriere ich das am besten?
Durch eine geeignete Substitution.
Hinweis:
[mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1
[/mm]
LG Al-Chw.
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> > Berechnen Sie den Umfang und die Fläche der Figur zwischen
> > der Gerade y=x und der Parabel [mm]y=x^{2}.[/mm]
> > Hallo,
> > hier mein Vorgehen:
> >
> > Wenn man das skizziert, dann sieht man das Intervall der
> > geschlossenen Fläche: [mm]X:[0,1]\to\IR[/mm]
> >
> > Formel für die Kurvenlänge:
> > [mm]L(X)=\integral_{a}^{b}||X'(t)||dt[/mm]
> >
> > X(t)=(t, [mm]t^{2})[/mm] <-- sind die funktionen
> > X'(t)=(1, 2t)
> >
> > [mm]L(X)=\integral_{0}^{1}\wurzel{1+4t^{2}}dt[/mm]
> >
> > Wie integriere ich das am besten?
>
>
> Durch eine geeignete Substitution.
> Hinweis:
>
> [mm]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1[/mm]
Wie kommst auf so eine Substitution?
>
> LG Al-Chw.
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> > > Berechnen Sie den Umfang und die Fläche der Figur zwischen
> > > der Gerade y=x und der Parabel [mm]y=x^{2}.[/mm]
> > > Hallo,
> > > hier mein Vorgehen:
> > >
> > > Wenn man das skizziert, dann sieht man das Intervall der
> > > geschlossenen Fläche: [mm]X:[0,1]\to\IR[/mm]
> > >
> > > Formel für die Kurvenlänge:
> > > [mm]L(X)=\integral_{a}^{b}||X'(t)||dt[/mm]
> > >
> > > X(t)=(t, [mm]t^{2})[/mm] <-- sind die funktionen
> > > X'(t)=(1, 2t)
> > >
> > > [mm]L(X)=\integral_{0}^{1}\wurzel{1+4t^{2}}dt[/mm]
> > >
> > > Wie integriere ich das am besten?
> >
> >
> > Durch eine geeignete Substitution.
> > Hinweis:
> >
> > [mm]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1[/mm]
>
> Wie kommst auf so eine Substitution?
Diese Gleichung kann man auch in der Form
$\ [mm] 1+(sinh(x))^2\ [/mm] =\ [mm] (cosh(x))^2$
[/mm]
schreiben. Siehst du jetzt eine Möglichkeit, dies
auf den Integranden anzuwenden ?
LG Al-Chw.
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