Lösung homogener anteil < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Trapt_ka |
| Aufgabe | gegeben ist folgende inhomogene gleichung zur anfangswertaufgabe
y'=1/(1-x)*y+x-1
der homogene anteil ist y'=1/(1-x)*y nach der integtration hab ich stehen
lny=-ln(1-x)
nun steht in der lösung nach multiplikation mit exp y= C*1/(x-1)
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WIe komme ich darauf wäre nett wenn mir einer nen tipp geben könnte
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Hallo Trapt_ka!
> lny=-ln(1-x)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du noch die Integrationskonstante $+ \ [mm] C^\star$ [/mm] unterschlagen.
Anschließend wenden wir hier noch ein/zwei  Logarithmusgesetze an:
[mm] $m*\log_b(a) [/mm] \ = \ [mm] \log_b\left(a^m\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\log_b(x)+\log_b(y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x*y)$
[/mm]
[mm] $\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\ln(1-x) [/mm] \ [mm] \red{+C^\star} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[(1-x)^{-1}\right] [/mm] + [mm] \underbrace{\ln(C)}_{C^\star \ := \ \ln(C)} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[\bruch{1}{1-x}*C\right]$
[/mm]
Und nun wird auf beiden Seiten der Gleichung die e-Funktion [mm] $\exp(...)$ [/mm] angewandt (nicht damit multipliziert!) ...
Gruß vom
Roadrunner
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