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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Di 20.12.2016 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge von:
[mm] \left| \bruch{x-1}{1+x} \right| [/mm] < 1,5 |
Hi,
ich habe die Aufgabe soweit gelöst. Ich möchte nur das jemand mal drüber guckt. Danke schonmal im voraus.
[mm] \left| x-1 \right| [/mm] < [mm] \left| 1+x \right|
[/mm]
1. Fall:
x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] 1+x [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1 -> x [mm] \ge [/mm] 1
Rechnung:
x-1 < 1,5 + 1,5x
x > -5 -> [mm] L_1= \left\{ x \ge 1 \right\}
[/mm]
2. Fall:
x - 1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] 1 + x < 0
x [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x < -1 -> Widerspruch -> [mm] L_2=\left\{ \right\}
[/mm]
3. Fall:
x - 1 < 0 [mm] \wedge [/mm] 1 + x [mm] \ge [/mm] 0
x < 1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1 -> -1 [mm] \le [/mm] x < 1
Rechnung:
-x + 1 < 1,5 + 1,5x
-0,5 < 2,5x
x > -0,2 -> [mm] L_3=\left\{ -0,2 < x <1 \right\}
[/mm]
4. Fall:
x - 1 < 0 [mm] \wedge [/mm] 1 + x < 0
x < 1 [mm] \wedge [/mm] x < -1 -> x < -1
Rechnung:
-x + 1 < -1,5 - 1,5x
0,5x < -0,5
x < -1 -> [mm] L_4=\left\{ x < -1 \right\}
[/mm]
[mm] L_G= L_1 \cup L_3 \cup L_4
[/mm]
Muss ich [mm] L_2 [/mm] angeben obwohl es ja eine leere Menge ist?
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> Bestimmen Sie die Lösungsmenge von:
> [mm]\left| \bruch{x-1}{1+x} \right|[/mm] < 1,5
> Hi,
> ich habe die Aufgabe soweit gelöst. Ich möchte nur das
> jemand mal drüber guckt. Danke schonmal im voraus.
Hallo!
>
> [mm]\left| x-1 \right|[/mm] [mm] <\red{1.5*}[/mm] [mm]\left| 1+x \right|[/mm]
>
> 1. Fall:
> x-1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] 1+x [mm]\ge[/mm] 0
> x [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\ge[/mm] -1 -> x [mm]\ge[/mm] 1
> Rechnung:
> x-1 < 1,5 + 1,5x
> x > -5 -> [mm]L_1= \left\{ x \ge 1 \right\}[/mm]
[mm] L_1=\{x\in\IR|x\ge 1}
[/mm]
oder
[mm] L_1=[1,\infty]
[/mm]
Die anderen Mengen entsprechend.
>
> 2. Fall:
> x - 1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] 1 + x < 0
> x [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\wedge[/mm] x < -1 -> Widerspruch -> [mm]L_2=\left\{ \right\}[/mm]
>
> 3. Fall:
> x - 1 < 0 [mm]\wedge[/mm] 1 + x [mm]\ge[/mm] 0
> x < 1 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\ge[/mm] -1 -> -1 [mm]\le[/mm] x < 1
> Rechnung:
> -x + 1 < 1,5 + 1,5x
> -0,5 < 2,5x
> x > -0,2 -> [mm]L_3=\left\{ -0,2 < x <1 \right\}[/mm]
>
> 4. Fall:
> x - 1 < 0 [mm]\wedge[/mm] 1 + x < 0
> x < 1 [mm]\wedge[/mm] x < -1 -> x < -1
> Rechnung:
> -x + 1 < -1,5 - 1,5x
> 0,5x < -0,5
Nein, hier heißt es
0.5x<-2.5
Entsprechend ändert sic [mm] L_4.
[/mm]
> x < -1 -> [mm]L_4=\left\{ x < -1 \right\}[/mm]
>
> [mm]L_G= L_1 \cup L_3 \cup L_4[/mm]
>
> Muss ich [mm]L_2[/mm] angeben obwohl es ja eine leere Menge ist?
Ich würde sie mit angeben - aber Du mußt es sicher nicht.
Vor allem aber würde ich am Ende die Lösungsmenge noch als Vereinigung zweier Intervalle schreiben, damit man auf einen Blick sieht, welche Elemente in der Menge sind.
LG Angela
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