Monotonie von Funkt. bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Do 05.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=\bruch{ln(x)}{x} [/mm] mit dem Definitionsbereich [mm] \IR_>_0
[/mm]
Bestimmen Sie alle Bereiche, auf denen f monoton ist und bestimmen Sie, ob f dort monoton steigend oder fallend ist. |
Hallo,
Meine Frage bezieht sich hier eher auf die dazu beiliegende Musterlösung.
[mm] f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}
[/mm]
Nun wird in der Musterlösung geschaut, wann f' denn [mm] \ge0 [/mm] bzw. [mm] \le0 [/mm] wird, indem man den Zähler von f' betrachtet mit [mm] 1-ln(x)\ge0 [/mm] bzw. [mm] 1-ln(x)\le0 [/mm] und entsprechend nach x auflöst.
Und genau hier tritt mein Verständnissproblem auf.
Wieso wird hier plötzlich von größer/GLEICH bzw. kleiner/GLEICH ausgegangen? Der Definitionsbereich von f lautet doch laut Aufgabenstellung [mm] \IR_>_0 [/mm] .
Also ohne die 0.
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Hallo,
der angegebene Definitionsbereich ist derjenige der Funktion f. Natürlich musst du ihn bei der Betrachtung der Ableitung berücksichtigen; aber: es geht hier darum, für welche x-Werte aus dem Definitionbereich der Term 1-ln(x) positiv@bzw. negativ wird. Es geht also um die Werte von f', und nicht um x-Werte!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 05.07.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Diophant,
> aber: es geht hier darum, für
> welche x-Werte aus dem Definitionbereich der Term 1-ln(x)
> positiv@bzw. negativ wird. Es geht also um die Werte von
> f', und nicht um x-Werte!
Ahhh, ok jetzt ist es klar.
Und man betrachtet nur [mm] 1-ln(x)\ge0 [/mm] $ bzw. $ [mm] 1-ln(x)\le0 [/mm]
und nicht 1-ln(x)>0 bzw. 1-ln(x)<0
weil in der Aufgabenstellung ja nur von "monoton steigend/fallend" die Rede ist und nicht von "streng monoton steigend/fallend", richtig?
Könnte ja vielleicht sein, dass die Funktion auch stellenweise irgendwi streng monoton steigend/fallend ist, aber danach ist ja nicht gefragt?!
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Hi Jack,
> Hallo Diophant,
>
> > aber: es geht hier darum, für
> > welche x-Werte aus dem Definitionbereich der Term 1-ln(x)
> > positiv@bzw. negativ wird. Es geht also um die Werte von
> > f', und nicht um x-Werte!
>
> Ahhh, ok jetzt ist es klar.
>
> Und man betrachtet nur [mm]1-ln(x)\ge0[/mm] [mm]bzw.[/mm] [mm]1-ln(x)\le0[/mm]
> und nicht 1-ln(x)>0 bzw. 1-ln(x)<0
> weil in der Aufgabenstellung ja nur von "monoton
> steigend/fallend" die Rede ist und nicht von "streng
> monoton steigend/fallend", richtig?
Jo.
> Könnte ja vielleicht sein, dass die Funktion auch
> stellenweise irgendwi streng monoton steigend/fallend ist,
> aber danach ist ja nicht gefragt?!
Monotonie impliziert strenge Monotonie. $ a [mm] \ge [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] (a > b) [mm] \vee [/mm] (a = b) $
Edit: Reverend hat natürlich recht, es gilt:
strenge Monotonie impliziert Monotonie:
$ [mm] (a>b)\Rightarrow(a\ge{b}) [/mm] $
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Do 05.07.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo ChopSuey,
> Monotonie impliziert strenge Monotonie. [mm]a \ge b \Rightarrow (a > b) \vee (a = b)[/mm]
Nee, umgekehrt - strenge Monotonie impliziert Monotonie:
[mm] (a>b)\Rightarrow(a\ge{b})
[/mm]
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Do 05.07.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Rev,
> Hallo ChopSuey,
>
> > Monotonie impliziert strenge Monotonie. [mm]a \ge b \Rightarrow (a > b) \vee (a = b)[/mm]
>
> Nee, umgekehrt - strenge Monotonie impliziert Monotonie:
> [mm](a>b)\Rightarrow(a\ge{b})[/mm]
Ohje, natürlich. Was war das denn für ein Quark, was ich da schrieb.
Es gilt natürlich genau das Gegenteil.
Danke für's Aufpassen!
>
> lg
> rev
>
Viele Grüße
ChopSuey
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