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| Aufgabe | Berechnen sie das Residuum der Singularitäten von
[mm] \frac{e^z}{z-1} [/mm] über deren Laurentreihe. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich dachte mir mal folgendes zur einzigen Singularität 1 (ist ein Pol erster Ordnung): [mm] \frac{e^z}{z-1}=\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}}{z}*\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{z}^m [/mm] wegen geometrischer Reihe.
Nun erste Frage: Kann ich bei beiden Summen denselben Index verwenden und die beiden Summen dann miteinander verrechnen? Warum?
Falls dies geht kann man obigen Term ja kürzen zu:
[mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z*n!} [/mm]
Zweite Frage: Nun weiß ich aber nicht wie ich den negativen Teil der Laurentreihe und damit auch das -1te Element, also das Residuum davon berechnen kann.
Wenn man das Residuum von z=1 "standardmäßig" berechnet kommt e heraus.
Ich bin über jede Hilfe dankbar.
DANKE
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie das Residuum der Singularitäten von
> [mm]\frac{e^z}{z-1}[/mm] über deren Laurentreihe.
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich dachte mir mal folgendes zur einzigen Singularität 1
> (ist ein Pol erster Ordnung):
> [mm]\frac{e^z}{z-1}=\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}}{z}*\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{z}^m[/mm]
> wegen geometrischer Reihe.
> Nun erste Frage: Kann ich bei beiden Summen denselben Index
> verwenden und die beiden Summen dann miteinander
> verrechnen? Warum?
>
> Falls dies geht kann man obigen Term ja kürzen zu:
> [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z*n!}[/mm]
Unfug !!
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> Zweite Frage: Nun weiß ich aber nicht wie ich den
> negativen Teil der Laurentreihe und damit auch das -1te
> Element, also das Residuum davon berechnen kann.
$ [mm] \frac{e^z}{z-1}= e*\frac{e^{z-1}}{z-1}= [/mm] e* [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(z-1)^{n-1}}{n!}$
[/mm]
und fertig ist die Laurententwicklung um z=1.
FRED
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> Wenn man das Residuum von z=1 "standardmäßig" berechnet
> kommt e heraus.
>
> Ich bin über jede Hilfe dankbar.
> DANKE
>
> Grüße
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