Resolventenmenge und Spektrum < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 23.03.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Resolventenmenge [mm] \phi(A)=\{\lambda\in X| (\lambda*I-A)^{-1} ex. und ist stetig \} [/mm] offen ist, und dass [mm] \sigma(A)= \IC\backslash\phi(A) [/mm] kompakt ist. |
Hallo,
ich brauche hier den Beweis für eine Prüfung, aber ich komme da irgendwie nicht drauf, kann mir hier bitte jemand helfen?
Gruß Docy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mo 24.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
sei [mm] F_\lambda=(\lambda{I}-A)^{-1}. [/mm] Da [mm] F_\lambda [/mm] stetig ist kann man [mm] \lambda_0 [/mm] so wählen, dass gilt
[mm] \parallel F_\lambda [/mm] - [mm] F_{\lambda_0} \parallel<\parallel F_\lambda^{-1} \parallel^{-1}
[/mm]
Da [mm] (\summe_{n=1}^{\infty}(F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}))^n)F_\lambda^{-1} [/mm] konvergent ist wegen,
[mm] \parallel F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}) \parallel\le\parallel F_\lambda^{-1} \parallel*\parallel F_\lambda-F_{\lambda_0} \parallel<1 [/mm] s. Steigkeit, folgt
[mm] (\summe_{n=1}^{\infty}(F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}))^n)F_\lambda^{-1}=\bruch{1}{1-F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0})}F_\lambda^{-1}=F_{\lambda_0}^{-1} [/mm] s. geometrische Reihe.
Also existiert [mm] F_{\lambda_0} [/mm] und ist nach Konstruktion auch stetig also ist die Resolventenmenge offen. Das Komplement ist abgeschlossen und das es nur endlich viele Eigenwerte gibt auch kompakt.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo,
> Hi,
>
> sei [mm]F_\lambda=(\lambda{I}-A)^{-1}.[/mm] Da [mm]F_\lambda[/mm] stetig ist
> kann man [mm]\lambda_0[/mm] so wählen, dass gilt
>
> [mm]\parallel F_\lambda[/mm] - [mm]F_{\lambda_0} \parallel<\parallel F_\lambda^{-1} \parallel^{-1}[/mm]
warum kann man das hier so wählen???
> Da
> [mm](\summe_{n=1}^{\infty}(F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}))^n)F_\lambda^{-1}[/mm]
> konvergent ist wegen,
>
> [mm]\parallel F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}) \parallel\le\parallel F_\lambda^{-1} \parallel*\parallel F_\lambda-F_{\lambda_0} \parallel<1[/mm]
> s. Steigkeit, folgt
>
> [mm](\summe_{n=1}^{\infty}(F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}))^n)F_\lambda^{-1}=\bruch{1}{1-F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0})}F_\lambda^{-1}=F_{\lambda_0}^{-1}[/mm]
> s. geometrische Reihe.
Warum ist das [mm] \bruch{1}{1-F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0})}F_\lambda^{-1}=F_{\lambda_0}^{-1} [/mm] ???
>
> Also existiert [mm]F_{\lambda_0}[/mm] und ist nach Konstruktion auch
> stetig also ist die Resolventenmenge offen. Das Komplement
> ist abgeschlossen und das es nur endlich viele Eigenwerte
> gibt auch kompakt.
>
Wäre super, wenn du mir das noch erklären könntest.
Gruß Dimitrij
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 24.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo,
> > Hi,
> >
> > sei [mm]F_\lambda=(\lambda{I}-A)^{-1}.[/mm] Da [mm]F_\lambda[/mm] stetig ist
> > kann man [mm]\lambda_0[/mm] so wählen, dass gilt
> >
> > [mm]\parallel F_\lambda[/mm] - [mm]F_{\lambda_0} \parallel<\parallel F_\lambda^{-1} \parallel^{-1}[/mm]
>
> warum kann man das hier so wählen???
Damit es später passt.
> > Da
> >
> [mm](\summe_{n=1}^{\infty}(F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}))^n)F_\lambda^{-1}[/mm]
> > konvergent ist wegen,
> >
> > [mm]\parallel F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}) \parallel\le\parallel F_\lambda^{-1} \parallel*\parallel F_\lambda-F_{\lambda_0} \parallel<1[/mm]
> > s. Steigkeit, folgt
> >
> >
> [mm](\summe_{n=1}^{\infty}(F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0}))^n)F_\lambda^{-1}=\bruch{1}{1-F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0})}F_\lambda^{-1}=F_{\lambda_0}^{-1}[/mm]
> > s. geometrische Reihe.
>
> Warum ist das
> [mm]\bruch{1}{1-F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0})}F_\lambda^{-1}=F_{\lambda_0}^{-1}[/mm]
> ???
> >
Einfach ausmultiplizieren.
Der Nenner ergibt
[mm] 1-F_\lambda^{-1}(F_\lambda-F_{\lambda_0})=1-F_\lambda^{-1}*F_\lambda+F_\lambda^{-1}*F_{\lambda_0}=F_\lambda^{-1}*F_{\lambda_0}
[/mm]
Daraus folgt der Rest.
> > Also existiert [mm]F_{\lambda_0}[/mm] und ist nach Konstruktion auch
> > stetig also ist die Resolventenmenge offen. Das Komplement
> > ist abgeschlossen und das es nur endlich viele Eigenwerte
> > gibt auch kompakt.
> >
> Wäre super, wenn du mir das noch erklären könntest.
> Gruß Dimitrij
>
mfg ullim
|
|
|
|
