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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Ricochet |
Hallo,
Kann mir einer einen Anstoß geben wie ich die
Stammfunktion von [mm] x^{n} \* e^{x} [/mm]
berechnen kann.
Wenn ich die durch einen Kalkulator jage,
kommt sowas dabei raus.
![[]](/images/popup.gif) Hier
Aber was bedeutet dieses Gamma?
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Hi, Ricochet,
da es sich hierbei um ein typisches Beispiel für die partielle Integration handelt, vermute ich mal, es lässt sich
a) entweder nur eine Rekursionsformel angeben, also:
[mm] \integral{x^{n}*e^{x}dx} [/mm] = [mm] x^{n}*e^{x} [/mm] - [mm] n*\integral{x^{n-1}*e^{x}dx},
[/mm]
oder
b) eine Formel finden, die mit Hilfe der vollst. Induktion bewiesen werden kann.
In jedem Fall ist das Ergebnis ein Term der Art (Polynom vom Grad [mm] n)*e^{x}.
[/mm]
Beispiele:
n=1: [mm] \integral{x*e^{x}dx} [/mm] = [mm] (x-1)*e^{x} [/mm] + c.
n=2: [mm] \integral{x^{2}*e^{x}dx} [/mm] = [mm] (x^{2}-2x+2)*e^{x} [/mm] + c.
n=3: [mm] \integral{x^{3}*e^{x}dx} [/mm] = [mm] (x^{3}-3x^{2}+6x-6)*e^{x} [/mm] + c.
Schlussidee: Vielleicht lässt sich auch mit dem Ansatz:
F(x) = [mm] (x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}x^{n-2} [/mm] + ... [mm] +a_{1}x+a_{0})*e^{x} [/mm]
was anfangen:
F'(x) = f(x) und Koeffizientenvergleich.
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![[]](http://www.paradigmata.de/Integrate.gif){kind=small}
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