Stetigkeit einer rat. Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie, ob [mm]f(x)=\frac{2x^4-6x^3+x^2 +3}{x-1}[/mm] an der Stelle x=1 stetig ist. |
Hallo zusammen!
Ich sitze gerade an obiger Aufgabe und bin verwirrt. Auf den ersten Blick sieht ja jeder dass diese Funktion im Punkt x=1 nicht stetig sein kann. Wenn man aber [mm]f[/mm] umformt in
[mm]f(x)=\frac{(1-x)\cdot(-3-3x-4x^2+2x^3)}{x-1}=-3-3x-4x^2+2x^3[/mm], dann ist [mm]f[/mm] plötzlich wieder stetig.
Was gilt nun? Bzw. wenn ich diese Aufgabe an einer Prüfung vorgesetzt kriege, was soll ich antworten?
Danke für eure Antworten!
Gruss
CA
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ComputerAlgebra,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da die Funktion $f(x)_$ an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ gar nicht definiert ist, kann sie logischerweise dort auch nicht stetig sein.
Aber Dein Ansatz ist (fast) richtig ...
> [mm]f(x)=\frac{(1-x)\cdot(-3-3x-4x^2+2x^3)}{x-1}[/mm]
Das muss heißen: [mm]f(x)=\frac{(\red{x-1})\cdot\left(-3-3x-4x^2+2x^3\right)}{x-1} \ = \ 2x^3-4x^2-3x-3[/mm] !
Denn noch immer ist diese Funktion lediglich für [mm] $\IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \{ \ 1 \ \} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IR \ | \ x\not=1 \ \right\}$ [/mm] definiert.
Aber die Funktion ist an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ hebbar stetig; d.h. durch Angabe eines entsprechenden Funktionswertes $f(1) \ := \ -6$ können wir nun eine Funktion erzeugen, die für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert ist sowie auch stetig.
Gruß
Loddar
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Danke für die Antwort!
Allerdings hab ich bisher von hebbar stetigen Funktionen noch nichts gehört, werde mir das wohl noch genauer anschauen ...
Gruss
daspan
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