Stetigkeit und Diff.barkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 13.01.2009 | | Autor: | bimf |
| Aufgabe | Die Funkltion [mm] g:x\mapsto \bruch{x²+2x-35}{x-5} [/mm] ist für [mm] x\not=5 [/mm] definiert. Untersuche die Funktion [mm] \overline{g} [/mm] mit
[mm] \overline{g}:x\mapsto f(n)=\begin{cases} \bruch{x²+2x-35}{x-5}, & \mbox{für } x\not=5 \\ 12, & \mbox{für } x=5 \end{cases}
[/mm]
auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle x=5. Berechne gegebenenfalls g'(5)! |
Hallo.
Kann mir das jemand erklären. ICh weiss zwar was Stetigkeit ist. und Differenzierbarkeit auch, aber keine Ahnung wie man bei einer solchen Aufgabe vorgehen soll bzw. anfangen soll. Limes, Grenzwerte usw. sind mir auch ein Begriff. Eine Ausführliche Rechnung würde mir schon helfen.
Wäre sehr schön wenn das einer hinbekommt.
mfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 13.01.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
zur Stetigkeit:
Zeige [mm] \limes_{x\rightarrow 5} \overline{g}(x) [/mm] = [mm] \overline{g}(5) [/mm] = 12
Schau dir dafür mal den Satz von l'Hospital an, z.B. bei Wikipedia!
zur Diffbarkeit:
Überlege dir, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 5} \bruch{\overline{g}(x)-\overline{g}(5)}{x-5}
[/mm]
existiert bzw. wie dieser aussieht.
Setze die Funktion ein, forme den Bruch um.
Hilfreich dabei:
1) Im Zähler die 12 mit (x-5) erweitern.
2) Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert
3) Im Zähler steht am Ende die binomische Formel [mm] (x-5)^2. [/mm] Genau hinschauen! 
Viel Erfolg!
LG djmatey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 13.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hall bimf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du kannst Dir eine Menge Rechnerei ersparen, wenn Du zuvor wie folgt umformst:
[mm] $$\bruch{x^2+2x-35}{x-5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x-5)*(x+7)}{x-5} [/mm] \ = \ x+7$$
Gruß
Loddar
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