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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Psyke |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=e^x-2x, [/mm] x [mm] \in [/mm] R. Ihr Schaubild ist Kf
von O (0/0) aus soll eine Tangente an Kf gelegt werden.
Stellen Sie die Gleichung der Tangente auf und ermitteln Sie die Koordinaten des Berührpunktes.
Also in der Lösung steht folgendes:
(kp wie der auf die Formel kommt)
Tang. an Kf von O (0/0)
Gl. der Tang.
Koord. des Berührpunktes
t: [mm] \bruch{y-f(x0)}{x-x0} [/mm] = f'(x0)
f'(x0)=e^x0-2
[mm] \Rightarrow [/mm] (0-(e^x0-2x0):(0-x0) = e^x0-2
[mm] \Rightarrow [/mm] -e^x0+2x0=-x0(e^x0-2)
[mm] \Rightarrow [/mm] -e^x0 = [mm] -x0\*e^x0 [/mm] (zwischen -x0 und e^x0 ist ein Malzeichen)
[mm] \Rightarrow [/mm] x0e^x0-e^x0 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] e^x0(x0-1) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] e^x0 = 0 (nicht definierbar!) v x0-1 = 0 => x0 = 1 = xB
f(1) = [mm] e^1-2\*1 [/mm] = e-2 = yB
B (1/e-2)
Tang.gl. y = mx
m = e-2
m = [mm] \bruch{yB}{xB} [/mm] = e-2
t: y = (e-2)x [mm] \Rightarrow [/mm] y=0,72x
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Vorbereitungen auf die Prüfung und ich häng da schon seit Stunden rum...
Ich verstehe nicht, wie er auf diese Formel kommt:
t: [mm] \bruch{y-f(x0)}{x-x0} [/mm] = f'(x0)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Psyke,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Hier wurde schlicht und ergreifend die Punkt-Steigungs-Form von Geraden angewandt, die Du vielleicht in der folgenden Form kennst:
$m \ = \ [mm] \bruch{y-y_P}{x-x_P}$
[/mm]
In Deiner Aufgabe wurde dann wie folgt eingesetzt:
$m \ = \ [mm] \text{Steigung der Tangente im Berührpunkt} [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0)$
[/mm]
[mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] \text{Funktionswert des Berührpunktes} [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$
[/mm]
[mm] $x_P [/mm] \ = \ [mm] \text{x-Wert des Berührpunktes} [/mm] \ = \ [mm] x_0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $f'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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