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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion f(x) = [mm] (1+x)^{-3} [/mm] um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 0 in eine Taylorreihe und zeigen Sie, dass die Reihe für alle |x| < 1 konvergiert. |
Hallo Leute,
ich hab die Aufgabe so versucht zu lösen:
f(x) = [mm] (1+x)^{-3} [/mm]
f'(x) = [mm] (-3)(1+x)^{-4}
[/mm]
f''(x) = [mm] (-3)(-4)(1+x)^{-5}
[/mm]
f'''(x) = [mm] (-3)(-4)(-5)(1+x)^{-6}
[/mm]
.
.
.
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n} \bruch{(n+2)!}{2} (1+x)^{-(n+3)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Taylorreihe
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k} \bruch{(k+2)!}{2}}{k!} x^{k}
[/mm]
Könnt ihr mir sagen, ob das so richtig ist? und kann ich dann damit einfach den Konvergenzradius bestimmen?
Gruß Michael
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> Entwickeln Sie die Funktion f(x) = [mm](1+x)^{-3}[/mm] um den Punkt
> [mm]x_{0}[/mm] = 0 in eine Taylorreihe und zeigen Sie, dass die
> Reihe für alle |x| < 1 konvergiert.
> Hallo Leute,
> ich hab die Aufgabe so versucht zu lösen:
>
> f(x) = [mm](1+x)^{-3}[/mm]
> f'(x) = [mm](-3)(1+x)^{-4}[/mm]
> f''(x) = [mm](-3)(-4)(1+x)^{-5}[/mm]
> f'''(x) = [mm](-3)(-4)(-5)(1+x)^{-6}[/mm]
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> [mm]f^{(n)}(x)[/mm] = [mm](-1)^{n} \bruch{(n+2)!}{2} (1+x)^{-(n+3)}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow[/mm] Taylorreihe
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k} \bruch{(k+2)!}{2}}{k!} x^{k}[/mm]
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> Könnt ihr mir sagen, ob das so richtig ist?
Im Prinzip ja, aber den Koeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] von [mm] $x^k$ [/mm] würde man wegen $(k+2)!/k!=(k+2)(k+1)$ wohl noch etwas vereinfachen wollen: [mm] $a_k=(-1)^k \tfrac{(k+2)(k+1)}{2}$.
[/mm]
> und kann ich dann damit einfach den Konvergenzradius bestimmen?
Aber sicher schon: [mm] $r=1/\limsup_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$.
[/mm]
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