Umkehrfunktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 So 13.03.2011 | | Autor: | csak1162 |
also wie berechne ich die Umkehrfunktion von
[mm] ln|\bruch{y}{1+y}|
[/mm]
muss ich da fälle unterscheiden??
danke lg
|
|
| |
|
Hallo,
zur Veranschaulichung: ![[]](/images/popup.gif) Plot+Umkehrfkt
> also wie berechne ich die Umkehrfunktion von
>
> [mm]ln|\bruch{y}{1+y}|[/mm]
>
> muss ich da fälle unterscheiden??
> danke lg
[mm] $x=f(y)=\ln\left|\bruch{y}{1+y}\right|$. [/mm] Vorsicht: Diese Funktion ist auf dem maximalen Defbereich [mm] \IR\backslash\{0,-1\} [/mm] nicht injektiv. Man kann die Umkehrfunktion z. B. bilden auf $y>0$ sowie $y<-1$ (das ist eine injektive Einschränkung).
Zum Bilden der Umkehrfunktion nach y umstellen:
[mm] \ldots\gdw e^x=\left|\bruch{y}{1+y}\right|
[/mm]
Nun ist hier eine (kleine) Fallunterscheidung notwendig.
y>0:
[mm] \ldots \Rightarrow e^x=\bruch{y}{1+y}\gdw (1+y)e^x-y=0\gdw y(e^x-1)=-e^x\gdw y=\frac{-e^x}{e^x-1}
[/mm]
y<-1:
[mm] $\ldots$
[/mm]
LG
|
|
|
|
