Zinsrechnung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
bekanntlich gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e
[/mm]
Habt ihr vielleicht eine Idee, wie man beweisen kann, dass folgendes gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{p}{n})^n=e^p [/mm] ?
VG
|
|
| |
|
Hiho,
sei $p>0$ gegeben, dann gilt:
[mm] $\left(1 + \frac{p}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \left(1+\frac{1}{\frac{n}{p}}\right)^{\frac{n}{p}p}$
[/mm]
Substituiert man nun [mm] $m=\frac{n}{p}$ [/mm] so erhält man:
[mm] $=\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{mp} [/mm] = [mm] \left(\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right)^p$
[/mm]
Da mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] auch [mm] $\frac{n}{p} [/mm] = m [mm] \to \infty$ [/mm] folgt also:
[mm] $\lim_{n\to\infty} $\left(1 + \frac{p}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \lim_{m\to\infty}\left(\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right)^p [/mm] = [mm] e^p$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mo 13.02.2017 | | Autor: | steve.joke |
Besten Dank
|
|
|
|
