limes vom Integral über x^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
Hallo!
Bin total verzweifelt, weiß nicht mehr weiter...
Wie zeigt man, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} [/mm] {f( [mm] x^{n}) [/mm] dx}=f(0) ist
für jede Stetige Funktion f von [0,1] nach [mm] \IR
[/mm]
(^heißt "hoch")
Danke im Voraus für DEINE Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Für [mm] $0\le [/mm] x <1$ gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x^n=0$,
[/mm]
also wegen der Stetigkeit von $f$:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}f(x^n)=f(0)$ [/mm] Lebesgue-fast sicher auf $[0,1]$.
Da $f$ auf dem Kompaktum $[0,1]$ stetig, also beschränkt ist, liefert die konstante Funktion [mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty}=\sup\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|$ [/mm] eine geeignete Lebesgue-Majorante auf dem Kompaktum $[0,1]$.
Die Behauptung folgt nun aus dem Satz von der dominierten (=majorisierten) Konvergenz (von Lebesgue):
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_0^1 f(x^n)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} f(x^n)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_0^1 f(0)\, [/mm] dx = f(0)$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Das baut mich jetzt auf... in Hinsicht auf eine Menge weiterer (für mich unlösbaren) Aufgaben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
alternativ kann man das auch mit dem MWS der Integralrechnung zeigen:
[mm]\exists\xi\in (0;1): \int_{0}^{1}f(x)dx=f(\xi)[/mm]
also
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty }\int ...=\lim_{n\rightarrow\infty}f(\xi^{n})=f(\lim_{n\rightarrow\infty}\xi^{n})=f(0)[/mm]
wobei die Stetigkeit von f und [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\xi^{n}=0[/mm] wegen [mm]0<\xi<1[/mm] benutzt wurde.
Gruß
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