ln(k(x^2+1)) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wie integriert man:
[mm] f_k(x)=ln(k(x^2+1))
[/mm]
Ich es natürlich per Substitution versucht aber bin zu keinem klarem ergebnis gekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Di 07.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Zerlege zunächst per  Logarithmusgesetz:
[mm] $$f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[k*\left(x^2+1\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \ln(k)+\ln\left(x^2+1\right)$$
[/mm]
Den hinteren Term kann man nun mittels partieller Integration für [mm] $\red{1}*\ln\left(x^2+1\right)$ [/mm] lösen.
Gruß
Loddar
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okey...
dann hab ich sowas:
[mm] xln(x^2+1)-\integral_{}^{}{\frac{2x^2}{x^2+1} dx}
[/mm]
das sieht schon mal einfacher aus aber das [mm] $x^2$ [/mm] stört nun im Zähler.
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> okey...
>
> dann hab ich sowas:
>
> [mm]xln(x^2+1)-\integral_{}^{}{\frac{2x^2}{x^2+1} dx}[/mm]
>
> das sieht schon mal einfacher aus aber das [mm]x^2[/mm] stört nun im
> Zähler.
Hallo,
dem kann man abhelfen:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{2x^2}{x^2+1} dx}=2*\integral_{}^{}{\frac{x^2}{x^2+1} dx}=2*\integral_{}^{}{\frac{x^2+1-1}{x^2+1} dx}=2*\integral_{}^{}{(1-\frac{1}{x^2+1}) dx}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Di 07.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Genau sowas hab ich gesucht!! Danke!
ich hab jetzt das:
$ln(k)x + [mm] xln(x^2+1)-2x+2*arctan(x)$
[/mm]
falls es jemanden interssiert:
[mm] f_k(x) [/mm] = [mm] ln[k*(x^2+1)] [/mm] = [mm] ln(k)+ln(x^2+1)
[/mm]
= [mm] \int_{}^{}ln(k)dx [/mm] + [mm] \int_{}^{}1*ln(x^2+1)dx
[/mm]
= ln(k)x + [mm] xln(x^2+1)-\int_{}^{}{\frac{2x^2}{x^2+1} dx}
[/mm]
= ln(k)x + [mm] xln(x^2+1)-2\int_{}^{}{\frac{x^2+1-1}{x^2+1} dx}
[/mm]
= ln(k)x + [mm] xln(x^2+1)-2\int_{}^{}{1-\frac{1}{x^2+1} dx}
[/mm]
= ln(k)x + [mm] xln(x^2+1)-2x+2*arctan(x)[/mm]
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